Ответы
ДАНО: F(x) = x³/(x²-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ.
1. Область определения:
В знаменателе: х²-1 = (x-1)*(x+1)≠0
D(y)= X≠ ±1 , X∈(-∞;1)∪∪(-1;1)∪(1;+∞).
Не допускаем деления на 0 в знаменателе.
2. Разрыв II-го рода при Х = ±1.
Две вертикальных асимптоты - Х = -1 и Х = 1.
3. Наклонная асимптота:
k = lim(+∞)Y(x0/x = lim(+∞)x³/(x³-x) = 1
b = lim(+∞)F(x) - k*x = x/(x²-1) = 0
y = x - наклонная асимптота.
4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.
x³ = 0 . Нуль функции: y(0) = 0.
5. Интервалы знакопостоянства.
Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;-1)∪(0;1).
Положительна: Y>0 - X∈(-1;0)∪(1;+∞;)
6. Проверка на чётность.
Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x) ,
7. Поиск экстремумов по первой производной.
y'(x) = 3x/(x²-1) - 2*x⁴/(x-1)³ = x²*(x²-3)/(x-1)² = 0.
x₁ =-√3 , x₂ = √3, x₃ = 0 - точки экстремумов. (±1,73)
8. Локальный максимум: y(-√3) = -2.6, минимум: y(√3) = 2.6.
При х=0 - минимум одного интервала совпадает с максимумом второго интервала - продолжает убывать.
9. Интервалы монотонности.
Возрастает - X∈(-∞;-√3)∪(√3;+∞). Убывает: X∈(-√3;-1)∪(-1;1)∪(1;√3).
10. Поиск перегибов по второй производной.
y"(x) = 2*x*(x²+3)/(x²-1)³ = 0
Точки перегиба при Х = 0 и Х = ±1.
11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-1;0)∪(1;+∞),
выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-1)∪(0;1);
12. Область значений. E(y) - y∈(-∞;+∞).
13. График функции на рисунке в приложении.
![](https://st.uroker.com/files/42a/42a4ba9ba46b862eca0627743cafc23d.png)