Question

Найти значение выражения $frac{S}{pi }$

где S - сумма корней (или корень, если он один) уравнения

$arcsin(frac{1}{2} cosx+frac{1}{2}) = 4pi(pi-x) + x^{2} +frac{pi }{2}$

Answer 1

$arcsinleft(frac{cos x+1}{2}right)=(x-2pi)^2+frac{pi}{2}.$

Левая часть уравнения не больше $frac{pi}{2}$ (поскольку арксинус принимает значения в промежутке $left[-frac{pi}{2};frac{pi}{2}right]$), правая часть уравнения не меньше $frac{pi}{2}$ (поскольку равна сумме числа $frac{pi}{2}$ и квадрата, который, как известно, не бывает отрицательным). Поэтому обе части должны быть равны $frac{pi}{2}.$ Откуда $(x-2pi)^2=0; x-2pi=0; x=2pi.$ Подставляя полученное значение неизвестной в левую часть уравнения, убеждаемся, что и она в этой точке равна требуемому значению: $arcsinleft(frac{cos 2pi+1}{2}right)=arcsin 1=frac{pi}{2}.$

Ответ: $S=2pi$

Answer 2

Спасибо!