Question

Найти общее решение уравнения 2-го порядка​

Answer 1

$2(y^{ prime} )^{2} = y^{ prime prime } (y - 1)$
Уравнение, допускающее понижения порядка.
Пусть
$y^{ prime} = p : : : : : (p = p(y))$
тогда
${y}^{ prime prime} = {p}^{ prime} p$
а уравнение примет вид
$2 {p}^{2} = {p}^{ prime} p(y - 1) \ {p}^{ prime} = frac{2 {p}^{2} }{p(y - 1)} \ {p}^{ prime} = frac{2p}{y - 1}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$frac{dp}{dy} = frac{2p}{y - 1} \ intfrac{dp}{p} = 2 int frac{dy}{y - 1} \ ln |p| = 2ln |y - 1| + ln{ |a| } : : ({a} neq0) \ ln |p| = ln {( |a| (y - 1)}^{2})\ |p| = |a| {(y - 1)}^{2} \ p = c {(y - 1)}^{2} : : (c = _{-} ^{+} |a| )$
Возвращаемся к старой переменной
${y}^{ prime} = c {(y - 1)}^{2}$
—уравнение с разделяющимися переменными
$frac{dy}{dx} = c {(y - 1)}^{2} \ frac{dy}{ {(y - 1)}^{2} } = cdx \ int {(y - 1)}^{ - 2}dy = int{cdx} \ frac{ {(y - 1)}^{ - 1} }{ - 1} = cx + c_{1} \ - frac{1}{y - 1} = cx + c_{1} \ 1 - y = frac{1}{cx + c_{1}} \ y = 1 - frac{1}{cx + c _{1}}$
—общее решение