Question

Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

Answer 1

Событие $A$ — мишень поражена одним выстрелом. Рассмотрим следующие гипотезы:

$H_1$ — мишень поражена только первым стрелком

$H_2$ — мишень поражена только вторым стрелком

$H_3$ — мишень поражена только первым и вторым стрелками

$H_4$ — ни один стрелок не попал.

Обозначим события $A_1,A_2$ - попадание в мишень первым и вторым стрелками соответственно.

$Pleft(H_1right)=Pleft(A_1right)cdot left(1-Pleft(A_2right)right)=0.75cdotleft(1-0.8right)=0.15\ Pleft(H_2right)=left(1-Pleft(A_1right)right)cdot Pleft(A_2right)=left(1-0.75right)cdot 0.8=0.2\ P left(H_3right)=Pleft(A_1right)cdot Pleft(A_2right)=0.75cdot0.8=0.6\ Pleft(H_4right)=left(1-Pleft(A_1right)right)cdotleft(1-Pleft(A_2right)right)=left(1-0.75right)cdotleft(1-0.8right)=0.05$

Условные вероятности:

                              $Pleft(A|H_1right)=P(A|H_2)=1;~~~\ Pleft(A|H_3right)=Pleft(A|H_4right)=0$

По формуле Байеса, искомая вероятность:

$Pleft(H_2|Aright)=dfrac{Pleft(A|H_2right)cdot Pleft(H_2right)}{P(A)}=dfrac{1cdot0.2}{0.15cdot1+0.2cdot1+0.6cdot0+0.05cdot0}=dfrac{4}{7}$

Ответ: 4/7.