Question

Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям

Answer 1

Найит частное решение дифф.уравнения

$displaystyle y``+64y=0$

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Составим и решим характеристическое уравнение:

$displaystyle k^2+64=0\\k^2= -64\k=pm 8i$

получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

$displaystyle y=C_1cos8x+C_2sin8x$

Теперь найдем частное решение

$displaystyle y_0=8; y(frac{pi}{16})=C_1cos(8*frac{pi}{16})+C_2sin(8*frac{pi}{16})=\\=C_1cosfrac{pi}{2}+C_2sinfrac{pi}{2}=C_2\\y(frac{pi}{16})=C_2=8$

найдем производную

$displaystyle y`=-8C_1sin8x+8C_2cos8x\\y`(frac{pi}{16})=-8C_1sinfrac{pi}{2}+8C_2cosfrac{pi }{2}=-8C_1=24\ C_1=-3$

тогда частное решение:

$displaystyle y=-3cos8x+8sin8x$