Даю все 35 балла !

Куб, шар, цилиндр и конус (у двух последних тел диаметры оснований равны высоте) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое — наименьший?
с подробным решением.

Ответы

Ответ дал: Хуqожнuк

Ответ: наибольший объём имеет конус, а наименьший - куб

Пошаговое объяснение:

Сначала выразим все объёмы через площадь поверхности.

Для определённости пусть площадь полной поверхности равна S. Через неё и выразим остальные величины.

1. Куб

Sполн.пов. = 6a², где a - ребро куба

$S = 6a^2\\a^2=frac{S}{6} \\a=sqrt{frac{S}{6}}$

Vкуба = a³

$V=(sqrt{frac{S}{6}})^3=sqrt{frac{S^3}{216} }$

2. Шар

Sпов. = 4πR, где R - радиус шара

$S=4pi R^2\\ R^2=frac{S}{4pi} \\ R=sqrt{frac{S}{4pi} }$

Vшара = 4/3 * πR³

$V=frac{4}{3}pi *R^3=frac{4}{3}pi*(sqrt{frac{S}{4pi} })^3=frac{4pi *S}{3*4pi } sqrt{frac{S}{4pi} }=frac{S}{3} sqrt{frac{S}{4pi} }=sqrt{frac{S^3}{36pi} }$

3. Цилиндр

2r = h, где r - радиус основания, h - высота цилиндра

Sполн.пов. = 2πr(h + r)

Заменим h на 2r, опираясь на равенство выше.

2πr(h + r) = 2πr(2r + r) = 6πr²

$S=6pi r^2\\r^2=frac{S}{6pi } \\r=sqrt{frac{S}{6pi } }$

Vцил = πr²h = πr² * 2r = 2πr³

$V=2pi r^3=2pi (sqrt{frac{S}{6pi } })^3=2pi*frac{S}{6pi } } sqrt{frac{S}{6pi } }=frac{S}{3} } sqrt{frac{S}{6pi } }=sqrt{frac{S^3}{54pi } }$

4. Конус

2r = h, где r - радиус основания, h - высота конуса

Sполн.пов. = πr(r + l), где l - образующая конуса.

Найдём образующую, используя половину осегого сечения - прямоугольный треугольник, в котором катеты - это высота и радиус, а гипотенуза - образующая. Тогда:

$l=sqrt{h^2+r^2}=sqrt{(2r)^2+r^2}=sqrt{4r^2+r^2}=sqrt{5r^2}=rsqrt{5}$

Sполн.пов. = πr(r + l) = πr(r + r√5) = πr²(1 + √5)

$S=pi r^2(1+sqrt{5})\ \r^2=frac{S}{pi (1+sqrt{5})}\ \r=sqrt{frac{S}{pi (1+sqrt{5})}}$

Vкон = 1/3 * πr²*h = 1/3 * 2πr³

$V=frac{1}{3}*2pi r^3=frac{2pi }{3}(sqrt{frac{S}{pi (1+sqrt{5})}})^3=frac{2pi }{3}*frac{S}{pi (1+sqrt{5})}sqrt{frac{S}{pi (1+sqrt{5})}}=frac{2S}{3(1+sqrt{5})}sqrt{frac{S}{pi (1+sqrt{5})}}=\\=sqrt{frac{(2S)^2*S}{9*(1+sqrt{5} )^2*pi (1+sqrt{5})}}=sqrt{frac{4S^3}{9pi *(1+2sqrt{5}+5)*(1+sqrt{5})}}=sqrt{frac{2S^3}{9pi (3+sqrt{5})(1+sqrt{5})}}=$

$=sqrt{frac{2S^3}{9pi (3+sqrt{5}+3sqrt{5}+5)}}=sqrt{frac{2S^3}{9pi (8+4sqrt{5})}}=sqrt{frac{S^3}{18pi (2+sqrt{5})}}$

Теперь сравним получившиеся объёмы.

Заметим, что все они выражены как корень некоторой дроби, а также у них одинаковый числитель S³. То есть сравнивать необходимо знаменатели, притом чем меньше знаменатель, тем больше объём.

Знаменатели:

$(1)216\(2)36pi \(3)54pi \(4)18(2+sqrt{5})$