Ответы
Данное уравнение - уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.Сначала возьмем однородное диф. уравнение 2-го порядка у два штриха -2 ушртих =0, составим для него характеристическое уравнение
r²-2r=0
r(r-2)=0, откуда r₁=0; r₂=2 -корни действительные и различные, значит, общий интеграл этого однородного уравнения будет
у₀=с₁+с₂е²ˣ
Найдем теперь частный интеграл участн. данного неоднородного уравнения по виду его правой части, с учетом того, что число 2 является корнем характеристического уравнения.
участн.= (Ах+В)*х*е²ˣ=(Ах²+Вх)*е²ˣ
Находим первую и вторую производную для того, чтобы определить коэффициенты А и В, для чего потом необходимо будет подставить у
участн. штрих и у частн. два штриха в исходное уравнение. Итак,
у частн. штрих = (2Ах+В)*е²ˣ+2е²ˣ(Ах²+Вх)=е²ˣ*(2Ах²+2Ах+2Вх+В)
участн. два штриха =2*е²ˣ*(2Ах²+2Ах+2Вх+В)+е²ˣ*(4Ах+2А+2В)=
2е²ˣ(2Ах²+2Ах+2Вх+В+2Ах+А+В)=2е²ˣ*(2Ах²+4Ах+2Вх+А+2В)
Подставим теперь эти производные и частное решение в исходное уравнение, получим
2е²ˣ(2Ах²+4Ах+2Вх+А+2В)-2*е²ˣ(2Ах²+2Ах+2Вх+В)=х*е²ˣ
после сокращения на е²ˣ≠0, получим
4Ах²+8Ах+4Вх+2А+4В-4Ах²-4Ах-4Вх-2В=х
4Ах+2А+2В=х
приравняв одинаковые коэффициенты при х в первой и нулевой степенях, получим А=1/4, В =-1/4
участн. =((1/4)х²)-х/4)е²ˣ
А общее решение неоднородного будет состоять из суммы общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений.
уо.н.=((х²/4)-х/4)*е²ˣ+с₁+с₂е²ˣ
уо.н.=е²ˣ(х²/4-х/4+с₂) +c₁
Ответ Общее решение ДУ второго порядка имеет такой вид
уо.н.= е²ˣ*(х²/4-х/4+с₂)+с₁, где с₁; с₂- константы.