Question

Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы площадь треугольника была наибольшей?
Решать через производную!

Answer 1

Пусть боковая сторона АВ = ВС = х, тогда АС = 18 - 2х

ВМ - высота ⇒ АМ = МС = (18 - 2х)/2 = 9 - х

В ΔВМС: по т.Пифагора  ВМ² = ВС² - МС² = х² - (9 - х)² = х² - (81 - 18х + х²) = 18х - 81

ВМ = √(18х - 81)

Площадь ΔАВС: S = (1/2) • AC • BM = (1/2) • (18 - 2x) • √(18x - 81) = (9 - x) • √(18x - 81)

Площадь данного треугольника должна быть наибольшей ⇒ Рассмотрим функцию S(x) = (9 - x) • √(18x - 81) и найдём её наибольшее значение.

S'(x) = ( (9 - x) • √(18x - 81) )' = (9 - x)' • √(18x - 81) + (9 - x) • (√(18x - 81) )' = - √(18x - 81) + (9 - x) • ( 1/(2√(18x-81) ) • 18 = - √(18x-81) + ( 9•(9-x)/√(18x-81) )

S'(x) = 0  ⇒  - √(18x-81) + ( 9•(9-x)/√(18x-81) )  = 0

9•(9-x)/√(18x-81) = √(18x-81)

9•(9-x) = √(18x-81)•√(18x-81)

81 - 9x = 18x - 81

27x = 162

x = 6 см

Значит, АВ = ВС = 6 см ⇒ АС = 18 - 2•6 = 6 см.

Поэтому, треугольник, имеющий наибольшую площадь, равносторонний, со стороной 6 см.

ОТВЕТ: 6 см ; 6 см ; 6 см