Question

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен альфа. Найдите объёмы пирамиды и описанного около пирамиды конуса​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Конус можно описать около пирамиды, если ее основание - многоугольник, вписанный в окружность, а вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности. Радиус конуса равен радиусу этой окружности, а высоты конуса и пирамиды совпадают.

∠DSC = α и SK = a — по условию.

SK - медиана, биссектриса, высота равнобедренного треугольник SCD, тогда из прямоугольного треугольника SKD:

${rm tg},frac{alpha}{2}=dfrac{CK}{SK}~~~Longleftrightarrow~~~~ CK=a{rm tg}, frac{alpha}{2}$

$CD=2CK=2a{rm tg}, frac{alpha}{2}$

$BD=CDsqrt{2}=2asqrt{2}{rm tg}, frac{alpha}{2}~~~Longrightarrow ~~~~ OD=asqrt{2}{rm tg}, frac{alpha}{2}$

$OK=dfrac{CD}{2}=a{rm tg}, frac{alpha}{2}$

Из прямоугольного треугольника SOK, найдем высоту SO

$SO=sqrt{SK^2-OK^2}=sqrt{a^2-a^2{rm tg}^2frac{alpha}{2}}=asqrt{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}$

Vпирамиды: $dfrac{1}{3}S_oh=dfrac{1}{3}cdot4a^2{rm tg}^2frac{alpha}{2}cdot asqrt{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}=dfrac{4}{3}a^3{rm tg}^2frac{alpha}{2}sqrt{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}$ куб. ед.

Vконуса: $dfrac{1}{3}S_oh=dfrac{1}{3}cdot picdot 2a^2{rm tg}^2frac{alpha}{2}cdot asqrt{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}=dfrac{2pi a^3}{3}{rm tg}^2frac{alpha}{2}sqrt{1-{rm tg}^2frac{alpha}{2}}$ куб. ед.

Answer 2

А вы мне с Алгеброй не поможете? там еще есть вопрос