Question

Найти общее решение дифференциального уравнения
$2xy'y''=y'^2-1$

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Понижаем порядок дифференциального уравнения с помощью замены

y' = u, тогда y'' = u', получим

2xuu' = u² - 1

$displaystyle dfrac{du}{dx}=dfrac{u^2-1}{2xu}~~~Longleftrightarrow~~~ int dfrac{2udu}{u^2-1}=intdfrac{dx}{x}~~~Longleftrightarrow~~~~int dfrac{d(u^2-1)}{u^2-1}=intdfrac{dx}{x}\ \ lnleft|u^2-1right|=ln|x|+ln C_1\ u^2-1=xC_1\ u=pmsqrt{C_1x+1}$

Обратная замена:

$y'=pmsqrt{C_1x+1}\ \ y=displaystyle int pmsqrt{C_1x+1}dx=pmdfrac{2}{3C_1}sqrt{(C_1x+1)^3}+C_2$