Question

Биссектрисы равностороннего треугольника АВС пересекают стороны ВС,АС,АВ соответственно в точках А1,В1,С1.Докажите,что треугольник А1В1С1 равносторонний.​

Answer 1

Биссектрисы в равностороннем треугольнике являются также и медианами.Поэтому каждая из сторон треугольника А1В1С1 является также стороной одного из трёх равносторонних треугольников АВ1С1, ВА1С1, СА1В1, образованных половинами сторон АВ, ВС и АС. Треугольники равносторонние на примере треугольника АВ1С1, где есть угол А=60градусов и две равные стороны АВ1 = АС1, а значит и два других угла равны (180-60)÷2=60.

В итоге в центре получаем четвёртый равносторонний треугольник А1В1С1, каждая из сторон которого ровно в 2 раза меньше стороны исходного треугольника АВС.