Question

Помогите вычислить площадь фигур, ограниченных линиями.
$1) y=x^{2}; y=frac{2}{x}; y=16$

$2) p^2=9cos2$φ

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1)

Найдём точки пересечения графиков:

$displaystylelarge {2over x}=16 Rightarrow x_1={1over8}\\{2over x}=x^2Rightarrow x_2=sqrt[3]{2}\\x^2=16Rightarrow x_3=4$

Площадь фигуры можно вычислить как сумму 2 площадей, ограниченных графиками($y=16, y={2over x}$ и $y=16, y=x^2$):

$displaystylelarge S=int_{{1over8}}^{sqrt[3]{2}}{left(16-{2over x}right)mathrm{dx}}+int_{sqrt[3]{2}}^{4}{left(16-x^2right)mathrm{dx}}=left(16x-2ln{x}right)bigg|_{{1over8}}^{sqrt[3]{2}}+left(16x-{1over3}x^3right)bigg|_{sqrt[3]{2}}^{4}=16sqrt[3]{2}-2-{20over3}ln{2}+{130over3}-16sqrt[3]{2}={124over3}-{20over3}ln{2}=ln{sqrt[3]{e^{124}}oversqrt[3]{2^{20}}}approx36.7$

2)

Судя по уравнению можно сказать, что это лемниската Бернулли.

Для нахождения её площади достаточно вычислить площадь четверти одной четверти и умножить на 4.

$displaystyleLarge {1over4}S={1over2}int_{0}^{piover4}9cos{(2phi)};mathrm{dphi}={9over2}int_{0}^{piover4}cos{(2phi)};mathrm{dphi}={9over4}int_{0}^{piover4}cos{(2phi)};mathrm{d(2phi)}={9over4}sin{(2phi)}bigg|_{0}^{piover4}={9over4}sin{2piover4}={9over4}\\S=9$