Question

3.5*. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения
1 − (cos2α − sin2α).

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$displaystyle 1-(cos2alpha-sin2alpha)=1+sin2alpha-cos2alpha=1+sqrt{2}left(frac{1}{sqrt{2}}sin2alpha-frac{1}{sqrt{2}}cos2alpha right)=\ \ \ =1+sqrt{2}left(sin2alphacosfrac{pi}{4}-cos2alphasinfrac{pi}{4}right)=1+sqrt{2}sinleft(2alpha-frac{pi}{4}right)$

Синус изменяется в пределах от -1 до 1, т.е. оценим в виде двойного неравенства выражение

$displaystyle -1leqslant sinleft(2alpha-frac{pi}{4}right)leqslant 1\ \ -sqrt{2}leqslantsqrt{2}sinleft(2alpha-frac{pi}{4}right)leqslant sqrt{2}~~~~|+1\ \ 1-sqrt{2}leqslant 1+sqrt{2}sinleft(2alpha-frac{pi}{4}right)leqslant 1+sqrt{2}$

Наибольшее значение: 1 + √2.

Наименьшее значение: 1 - √2.