Question

Решите систему линейных алгебраических уравнений
Тремя методами (метод Гаусса, метод Крамера,
Метод обратной матрицы)

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1) Метод Гаусса:

$displaystyleLargeleft( begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&1&4\3&-5&3&1\2&7&-1&8end{array}right)simleft( begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&1&4\0&-11&0&-11\0&3&-3&0end{array}right)simleft( begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&1&4\0&3&-3&0\0&-11&0&-11end{array}right)\\-11x_2=-11Rightarrow x_2=1\-3x_3+3=0Rightarrow x_3=1\x_1+2+1=4Rightarrow x_1=1$

2) Метод Крамера

$displaystyleLargeleft( begin{array}{*{3}{c}|c}1&2&1&4\3&-5&3&1\2&7&-1&8end{array}right)\\Delta=begin{vmatrix}1&2&1\3&-5&3\2&7&-1end{vmatrix}=1cdotbegin{vmatrix}-5&3\7&-1end{vmatrix}-2cdotbegin{vmatrix}3&3\2&-1end{vmatrix}+1cdotbegin{vmatrix}3&-5\2&7end{vmatrix}=33>0\\Delta_1=begin{vmatrix}4&2&1\1&-5&3\8&7&-1end{vmatrix}=4cdotbegin{vmatrix}-5&3\7&-1end{vmatrix}-2cdotbegin{vmatrix}1&3\8&-1end{vmatrix}+1cdotbegin{vmatrix}1&-5\8&7end{vmatrix}=33\\Delta_2=begin{vmatrix}1&4&1\3&1&3\2&8&-1end{vmatrix}=1cdotbegin{vmatrix}1&3\8&-1end{vmatrix}-4cdotbegin{vmatrix}3&3\2&-1end{vmatrix}+1cdotbegin{vmatrix}3&1\2&8end{vmatrix}=33\\Delta_3=begin{vmatrix}1&2&4\3&-5&1\2&7&8end{vmatrix}=1cdotbegin{vmatrix}-5&1\7&8end{vmatrix}-2cdotbegin{vmatrix}3&1\2&8end{vmatrix}+4cdotbegin{vmatrix}3&-5\2&7end{vmatrix}=33\\x_1=x_2=x_3={Delta_1overDelta}={Delta_2overDelta}={Delta_3overDelta}={33over33}=1$

3) Матричный метод

$displaystylelarge Acdot X=BRightarrow X=A^{-1}cdot B\\A=begin{pmatrix}1&2&1\3&-5&3\2&7&-1end{pmatrix},B=begin{pmatrix}4\1\8end{pmatrix},X=begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3end{pmatrix}\\\Delta=begin{vmatrix}1&2&1\3&-5&3\2&7&-1end{vmatrix}=1cdotbegin{vmatrix}-5&3\7&-1end{vmatrix}-2cdotbegin{vmatrix}3&3\2&-1end{vmatrix}+1cdotbegin{vmatrix}3&-5\2&7end{vmatrix}=33>0\\A^{T}=begin{pmatrix}1&3&2\2&-5&7\1&3&-1end{pmatrix}\\A_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}\\A_{1,1}=begin{vmatrix}-5&7\3&-1end{vmatrix}=-16;A_{1,2}=-begin{vmatrix}2&7\1&-1end{vmatrix}=9;A_{1,3}=begin{vmatrix}2&-5\1&3end{vmatrix}=11\;A_{2,1}=-begin{vmatrix}3&2\3&-1end{vmatrix}=9;A_{2,2}=begin{vmatrix}1&2\1&-1end{vmatrix}=-3;A_{2,3}=-begin{vmatrix}1&3\1&3end{vmatrix}=0\;A_{3,1}=begin{vmatrix}3&2\-5&7end{vmatrix}=31;A_{3,2}=-begin{vmatrix}1&2\2&7end{vmatrix}=-3;A_{3,3}=begin{vmatrix}1&3\2&-5end{vmatrix}=-11\\A^{-1}={1over33}begin{pmatrix}-16&9&11\9&-3&0\31&-3&-11end{pmatrix}\\X={1over33}begin{pmatrix}-16&9&11\9&-3&0\31&-3&-11end{pmatrix}begin{pmatrix}4\1\8end{pmatrix}={1over33}begin{pmatrix}-16cdot4+9cdot1+11cdot8\9cdot4-3cdot1+0cdot8\31cdot4-3cdot1-11cdot8end{pmatrix}=}{1over33}begin{pmatrix}33\33\33end{pmatrix}=begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}$