Question

О-точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Радиусы окружностей, описанных около треугольников АВС и АОВ равны 5 см и 5корень2 см соответственно. Найти величену угла С.

Answer 1

Пусть $R=5,; r=5sqrt{2}$, а углы A и B - α и β соответственно.

С одной стороны: $AB=2rsin(alpha+beta)$;

С другой: $AB=2Rsin angle C = 2Rsin(2alpha + 2beta)$; Приравняем эти два равенства: $rsin(alpha+beta)=2Rsin(alpha+beta)cos(alpha+beta) Rightarrow r=2Rcos(alpha+beta) Leftrightarrow cos(alpha+beta)=frac{r}{2R}$

То есть косинус суммы углов α и β равен r/2R = √2/2, то есть сумма углов равна 45°. А, значит, ∠C = 180-2α-2β = 90°