Question

Найдите все пары натуральных чисел, у которых сумма в три раза меньше произведения.

Answer 1

Ответ:

Всего три пары - $(6,6),, (4,12), (12,4)$

Объяснение:

Для того чтобы решить задачу, нужно правильно сформулировать проблему -

"Требуется найти все пары $(x,y)$, где $x, y in mathbb N$ так что $3(x+y)=xy$."

Из равенства $3(x+y)=xy$ очевидно что $xy$ делится на 3. Следовательно хотя бы одно из чисел $x, y$ делится на 3. Без огранчения общности, предположим что $x = 3m, , min mathbb N$.

Следовательно, высшеупомянотое равенство преообразовывается в

$3m + y =my$, из которого выводим $displaystyle y = frac{3m}{m-1}$.

Заметим что отсюда выходит что, $displaystyle y-3=frac{3}{m-1}$.

Т.к. $y$ цело только и только тогда, когда $y-3$ цело, то следовательно, 3 должно делится на $m-1$.

Число 3 делится только на четыре числа - 3, -3, 1, -1.  Но лишь только два из них подходят - 3 и 1.

Следовательно,

$m-1 = 1$ или $m-1 = 3$.

Т.е.,

$m=2$ или $m =4$

Отсюда получаем две пары -  $(6,6),(12,4)$. Однако очевидно, что также и пара $(4,12)$ подходит.