Question

Помогите пожалуйста вычислить двойной интеграл по области D,ограниченной указанными линиями
Двойной интеграл (x+y)dxdy D:y^2=x,y=x

Answer 1

$displaystyle underset{mathbb{D}}{intint}(x+y)mathrm{dxdy}\\mathbb{D}:begin{cases}&x=y^2\&x=yend{cases}$

Найдём точки пересечения графиков функций, для этого решим систему:

$begin{cases}&x=y^2\&x=yend{cases}\y^2=y\y^2-y=0\y(y-1)=0\ mathbf{y_1=0,;y_2=1}\ mathbf{x_1=0,;x_2=1}$

Так как функции уже выражены через x, то будем интегрировать сначала по y:

$displaystyle underset{mathbb{D}}{intint}(x+y)mathrm{dxdy}=textbf{*}\\mathbb{D}:begin{cases}&x=y^2\&x=yend{cases}\\ textbf{*}=int_{0}^{1}mathrm{dx}int_{y^2}^{y}(x+y)mathrm{dy}={1over2}int_{0}^{1}{left(x+yright)^2}big|_{y^2}^{y}mathrm{dx}={1over2}int_{0}^{1}left(3y^2-y^4-2y^3right)mathrm{dx}={1over2}left(y^3-{y^5over5}-{y^4over2}right)bigg|_0^1={1over2}left(1-{1over5}-{1over2}right)={1over2}cdot{3over10}={3over20}$