Question

Найдите рациональные корни многочлена
$x^{5}-2x^{4}- 4x^{3}+ 4x^{2} - 5x +6$

Answer 1

Объяснение:

Множество целых чисел - подмножество рациональных чисел.

$x^5-2x^4-4x^3+4x^2-5x+6=(x+2)(x^4-2x^3)-(x+2)(2x^3-4x^2+\ \ +4x-3)=(x+2)(x^4-2x^3-2x^3+4x^2-4x+3)=(x+2)(x^4-4x^3+\ \ +4x^2-4x+3)=(x+2)((x-1)(x^3-3x^2-3x-3)+4x(x-1))=\ \ =(x+2)(x-1)(x^3-3x^2-3x-3+4x)=(x+2)(x-1)(x^3-3x^2+x-3)\ \ =(x+2)(x-1)(x^2(x-3)+x-3)=(x+2)(x-1)(x-3)(x^2+1)$

Отсюда x=-2 ; x=1 ; x=3.

Answer 2

Угадываем первый корень, его надо искать среди целых делителей свободного члена,т.е. ±1; ±2; ±3; ±6.

Проверкой убеждаемся, что это числа -2;1 ;3.

Действительно,

При х=-2

(-2)⁵-2*(-2)⁴-4*(-2)³+4*(-2)²-5*(-2)+6=-32-32+32+16+10+6=0

При х= 1

1⁵-2*1⁴-4*1³+4*1²-5*1+6=1-2-4+4-5+6=0

При х=3

3⁵-2*3⁴-4*3³+4*3²-5*3+6=243-162-108+36-15+6=0

Остальные подозрительные на корни многочлена числа не расписал с целью экономии времени. т.е. многочлен может быть представлен,как произведение (х+2)(х-1)(х-3)А, где А подлежит определению.

Для этого перемножим числа (х+2)(х-1)(х-3)=(х²-х+2х-2)(х-3)=

(х²+х-2)*(х-3)=х³+х²-2х-3х²-3х+6=х³-2х²-5х+6.

Представим теперь исходный многочлен, как

х⁵-2х⁴-4х³+4х²-5х+6=

х⁵-2х⁴-5х³+х³+6х²-2х²-5х+6=х²*(х³-2х²-5х+6)+1*(х³-2х²-5х+6)=

(х³-2х²-5х+6)(х²+1)=(х+2)(х-1)(х-3)(х²+1)

Вот и все.)