Question

Решите уравнение:
$frac{sinx}{sin3x} +frac{sin5x}{sinx} =8cosxcos3x$

Answer 1

$frac{sin x}{sin 3x} + frac{sin 5x}{sin x}=8cos x cos3x; |times sin3xsin x$ (А затем проверим теряем ли мы корни)

Получаем: $sin^{2}x+sin5xsin 3x=8cos xsin xcos3xsin3x Leftrightarrow sin^{2}x+sin5xsin 3x=2sin2xsin6x$; Подберем такие a и b, что $cos5xsin3x=cos a-cos b$; Это легко сделать по формуле суммы косинусов. Получаем систему $left { {{a+b=10x} atop {b-a=6x}} right. Leftrightarrow b=8x,; a=2x$; Аналогично делаем и в правой части уравнения. В итоге (после умножения на 2 обеих частей):

$2sin^{2}x+cos2x-cos8x=2cos4x-2cos8x Leftrightarrow -cos2x+1+cos2x-cos8x=2cos4x-2cos8x$

Наконец,  $1=2cos4x-cos8x$; Сделаем замену:$t=4x$

$1=cos t-cos2t Leftrightarrow 1=cos t-2cos^{2}t+1 Leftrightarrow cos t(1-2cos t)=0$; Сделав обратную замену, приходим к ответу: $frac{pi}{8}+frac{pi k}{4},; kin mathbb{Z} \frac{pi}{12}+frac{pi l}{2},; lin mathbb{Z}\frac{5pi}{12}+frac{pi n}{2},; nin mathbb{Z}$. Краткая проверка показывает, что ни один из корней этих серий решений не удовлетворяет решениям $sin3xsin x =0$

Answer 2

в ответах написано x=п/2+пk, x=п/8+пk/4