Question

СРОЧНО! Определите все a, при каждом из которых неравенство 3sinx-4cosx≤a имеет хотя бы одно решение

Answer 1

$f(x)=3sin{x}-4cos{x}=-5(frac{4}{5} cos{x}-frac{3}{5} sin{x})=\-5cos{(x+arccos{0.8} )}$

Графиком этой функции является cosx, который растянут в 5 раз по ординате, смещён влево на arccos 0.8 и перевёрнут. Главное, что максимальное и минимальное ЗНАЧЕНИЕ это 5 и -5 т.к. |cosx|≤1.

Так вот если рассматривать функцию y=f(x)+p, то когда |p|=5 график Y будет касаться оси Ох своими экстремумами, соответственное когда p<-5, то график будет полностью ниже Ох, то есть <0, а когда p>5 --> y>0. Нам необходимо, чтобы касаний было хотя бы одно (от 1 до бесконечности), а учитывая, что знак ≤, то имеем:

f(x)+p≤0, при p≤5, а значит если f(x)≤a, то a≤-5.

Для ясности картины смотри вниз.

Ответ: a∈(-∞;-5]