Question

Решить дифференциальное уравнение tgx*y''-y'+1/sinx=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Понизим порядок дифференциального уравнения с помощь замены y' = z, тогда y'' = z', получаем

$z'{rm tg}, x-z+dfrac{1}{sin x}=0~~~~~|cdot {rm ctg}, x$

$z'-z{rm ctg}, x=-{rm ctg}, xcdot dfrac{1}{sin x}$

Умножив левую и правую части уравнения на $mu(x)=e^{int -{rm ctg}, x dx}=dfrac{1}{sin x}$, мы получим

$dfrac{1}{sin x}z'-{rm ctg}, xcdot dfrac{1}{sin x}z=-{rm ctg}, xcdot dfrac{1}{sin^2 x}\ \ dfrac{1}{sin x}cdotdfrac{dz}{dx}-dfrac{d}{dx}left(dfrac{1}{sin x}right)cdot z=-{rm ctg}, xcdot dfrac{1}{sin^2 x}\ \ dfrac{d}{dx}left(dfrac{z}{sin x}right)=-{rm ctg}, xcdot dfrac{1}{sin^2 x}$

Проинтегрируем обе части уравнения

$displaystyle dfrac{z}{sin x}=int {rm ctg}, xdleft({rm ctg}, xright)=dfrac{{rm ctg}^2x}{2}+C_1\ \ z=dfrac{cos^2x}{2sin x}+C_1sin x\ \ y=int left(dfrac{cos^2x}{2sin x}+C_1sin xright)dx=dfrac{cos x}{2}-dfrac{1}{2}lnbigg|dfrac{cos frac{x}{2}}{sin frac{x}{2}}bigg|-C_1cos x+C_2$

или это сводится к $y=-dfrac{1}{2}lnbigg|dfrac{cos frac{x}{2}}{sin frac{x}{2}}bigg|+C_1cos x+C_2$