Question

Как доказать, что при равных массах шаров угол между векторами импульсов всегда будет прямым?

Answer 1

Пусть рассматривается движение двух шаров под номерами 1 и 2. Выберем такую систему отсчета,  в которой скорость второго шарика равна нулю. Пусть также $overline{v_{1}},; overline{v_{1'}}$ - векторы скоростей первого шарика до и после столкновения соответственно. Точно также определим $overline{v_{2}},; overline{v_{2'}}$; Понятно, что удар нецентральный, иначе никакого угла и не было бы. Запишем закон сохранения импульса, с учетом $overline{v_{2}}=overline{0}$ ("масса" сократится): $overline{v_{1}}+overline{0}=overline{v_{1'}}+overline{v_{2'}}Leftrightarrow overline{v_{1}}=overline{v_{1'}}+overline{v_{2'}}$; Теперь возведем обе части в квадрат: $v_{1}=v_{1}^{2}'+v_{2}^{2}'+2overline{v_{1'}v_{2'}}$; Теперь запишем закон сохранения энергии (сократив на массу):

$frac{v_{1}^{2}}{2}=frac{v_{1}^{2}'}{2}+frac{v_{2}^{2}'}{2}Leftrightarrow v_{1}^{2}=v_{1}^{2}'+v_{2}^{2}'$; Сравнивая полученные выражения, приходим к выводу, что $overline{v_{1'}v_{2'}}=0$, что в общем-то и требовалось