Question

При каких значениях p вершины парабол y=-x^2+8px+3 и y=x^2-6px+3p расположены по разные стороны от оси х?​

Answer 1

Приведём к стандартному виду параболы, найдём координат вершин по ординате. Если вершины по разные стороны от оси Ох, то ординаты по разные стороны от нуля (на числовой прямой) --> их произведение всегда < 0.

$begin{matrix}begin{matrix}y=-x^2+8px+3=\-(x^2-2*4px+4^2*p^2-\4^2*p^2)+3=\-(x-4p)^2-(-16p^2)+3end{matrix} &begin{vmatrix} \\\\\end{matrix} &begin{matrix}y=x^2-6px+3p=\(x^2-2*3p+3^2*p^2-\3^2*p^2)+3p=\(x-3p)^2-9p^2+3pend{matrix} end{matrix}\\begin{matrix}(16p^2+3)(3p-9p^2)<0;&3p-9p^2<0;&-9p(p-frac{1}{3})<0end{matrix}\begin{matrix}p(p-frac{1}{3})>0Rightarrow &pin (-infty;0)and(frac{1}{3};+infty)end{matrix}$

Ответ: p∈(-∞;0)∪(1/3;+∞).