Question

Решить уравнение
Будьте так любезны написать подробное решение .
sin(x)^3*cos(3x)+cos(x)^3*sin(3x)=-3/8​

Answer 1

Ответ: x=(-1)^n *7π/24 + π*n/4

Объяснение:

sin(x)^3*cos(3x)+cos(x)^3*sin(3x)=-3/8​

sin^2(x) * ( sin(x)*cos(3x) )  +cos^2(x) *( cos(x)*sin(3x) )=-3/8

sin^2(x) * ( sin(x)*cos(3x) )  + (1-sin^2(x) ) *( cos(x)*sin(3x) )=-3/8

sin^2(x) *(  sin(x)*cos(3x) - sin(3x)*cos(x)  )   + cos(x)*sin(3x) =-3/8

Заметим что :  sin(x)*cos(3x) - sin(3x)*cos(x)= sin(x-3x)=sin(-2x)=-sin(2x)

-sin(2x) *sin^2(x)  +cos(x)*sin(3x) =-3/8

Применим  формулы:

sin^2(x)= (1-cos(2x) ) /2  →  -sin^2(x)= (cos(2x)-1)/2

sin(3x) *cos(x) =  1/2 * ( sin(3x-x) +sin(3x+x) )= 1/2* ( sin(2x)+sin(4x) )

1/2 * (  sin(2x) * (cos(2x) -1) +sin(2x) +sin(4x) ) =-3/8

sin(2x)*cos(2x) -sin(2x) +sin(2x) +sin(4x) =-3/4

sin(2x)*cos(2x) +2*sin(2x)*cos(2x) =-3/4

3*sin(2x)*cos(2x)=-3/4

sin(2x)*cos(2x)=-1/4

2*sin(2x)*cos(2x)=-1/2

sin(4x)=-1/2

4x= (-1)^n *7π/6 +π*n

x=(-1)^n *7π/24 + π*n/4

Answer 2

Чтобы не переписывать каждый раз все уравнение, докажем первоначально, что левая часть равна $frac{3}{4}sin 4x$

1-й способ:

$sin 3xcdot cos^3x+cos 3xcdot sin^3x=sin 3xcdot cos xcdot cos^2x+cos 3x cdot sin xcdot sin^2x=$

$=frac{(sin 4x+sin 2x)(1+cos 2x)+(sin 4x-sin 2x)(1-cos 2x)}{4}=frac{2}{4}(sin 4x+sin 2xcdotcos 2x)=frac{3}{4}sin 4x$

2-й способ:

$(3sin x-4sin^3 x)cdot cos^3x+(4cos^3x-3cos x)cdot sin^3x=$

$=3sin xcdot cos xcdot (cos^2 x-sin^2x)=frac{3}{2}sin 2xcdot cos 2x=frac{3}{4}sin 4x$

3-й способ:

$sin 3xcdotfrac{cos 3x+3cos x}{4}+cos 3xcdot frac{3sin x-sin 3x}{4}=$

$=frac{3(sin 3xcdotcos x+cos 3xcdot sin x}{4}=frac{3}{4}sin 4x$

Уравнение принимает вид $frac{3}{4}sin 4x=-frac{3}{8}; sin 4x=-frac{1}{2}; left [ {{4x=-frac{pi}{6}+2pi n} atop {4x=frac{7pi}{6}+2pi n}} right.; left [ {{x=-frac{pi}{24}+frac{pi n}{2}; nin Z} atop {x=frac{7pi}{24}+frac{pi n}{2}; nin Z}} right.$