Question

при каком значении параметра k корни уравнения x^2+x-k=0 удовлетворяют условию x1^-2+x2^-2=7/9

Answer 1

x^2+x-k=0

находим дискриминант:

D=1+4k

рассматриваем 3 случая:

1) D>0

$1+4k>0\k>-frac{1}{4} \x_1=frac{-1+sqrt{1+4k}}{2} \x_2=frac{-1-sqrt{1+4k}}{2}$

проверяем условие - подставляем значения x1 и x2:

$x_1^{-2}+x_2^{-2}=frac{7}{9} \(frac{2}{-1+sqrt{1+4k}} )^2+(frac{2}{-1-sqrt{1+4k}} )^2=frac{7}{9} \frac{4}{1+4k-2sqrt{1+4k}+1} +frac{4}{1+1+4k+2sqrt{1+4k}} =frac{7}{9} \frac{2}{1+2k-sqrt{1+4k}} +frac{2}{1+2k+sqrt{1+4k}} =frac{7}{9} \2(frac{1+2k+sqrt{1+4k}+1+2k-sqrt{1+4k}}{(1+2k)^2-(sqrt{1+4k})^2} )=frac{7}{9} \2(frac{2+4k}{4k^2+4k+1-1-4k} )=frac{7}{9} \4(frac{2k+1}{4k^2} )=frac{7}{9}$

$frac{2k+1}{k^2} =frac{7}{9} \18k+9=7k^2\7k^2-18k-9=0\D=18^2+4*7*9=576=24^2\k_1=frac{18+24}{14} =3\k_2=frac{18-24}{14} =-frac{3}{7}$

проверяем:

k>-1/4

3>-1/4 - верно

-3/7>-1/4

3/7<1/4

12<7 - неверно, значит k=-3/7 не удовлетворяет условию

В итоге: k=3

2) D=0

$x_1=x_2=frac{-1}{2} =-frac{1}{2}$

проверяем условие - подставляем значение x1=x2=-0,5:

(-0,5)^(-2)+(-0,5)^(-2)=7/9

4+4=7/9 - неверно, значит x1=x2=-0,5 не удовлетворяют условию

3) D<0

уравнение не имеет действительных корней

Ответ: 3