Question

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Answer 1

$1)\a)x^2dx=3y^2dy\frac{x^3}{3}=y^3+C\y=sqrt[3]{frac{x^3}{3}+C}\ b)y(1+x)dx+x(1-y)dy=0\y(1+x)dx=-x(1-y)dy\frac{1-y}{y}dy=-frac{1+x}{x}dx\(frac{1}{y}-1)dy=-(frac{1}{x}+1)dx\ln(y)-y=-ln(x)-x+C$

Под буквой б можно получить только общий интеграл.

$2)\left { {{y^2dx=e^{-x}dy} atop {y(0)=1}} right. \frac{dy}{y^2}=frac{dx}{e^{-x}}\-frac{1}{y}=e^x+C\-1=1+C\C=-2\y=-frac{1}{e^{x}-2}$

$3)xy+y^2-(2x^2+xy)y'=0\y'=frac{xy+y^2}{2x^2+xy}\y'=frac{txty+t^2y^2}{2t^2x^2+txty}=frac{t^2(xy+y^2)}{t^2(2x^2+xy)}=frac{xy+y^2}{2x^2+xy}\f(tx,ty)=f(x,y)=>y=ux;y'=u'x+u\u'x+u=frac{x^2u+u^2x^2}{2x^2+x^2u}\u'x+u=frac{x^2(u+u^2)}{x^2(2+u)}\u'x=frac{u+u^2}{2+u}-u=frac{u+u^2-2u-u^2}{2+u}=frac{-u}{2+u}\frac{du}{dx}x=frac{-u}{2+u}\frac{(2+u)du}{u}=-frac{1}{x}dx\(frac{2}{u}+1)du=ln(frac{1}{x})+C\ln(u^2)+u=ln(frac{1}{x})+C\ln(frac{y^2}{x^2})+frac{y}{x}=ln(frac{1}{x})+C$

Можно найти только общий интеграл

$xy'-xy=(1+x^2)e^x\y'-y=frac{(1+x^2)e^x}{x}\y=uv;y'=u'v+v'u\u'v+v'u-uv=frac{(1+x^2)e^x}{x}\u'v+u(v'-v)=frac{(1+x^2)e^x}{x}\v'-v=0\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{v}=dx\ln(v)=x\v=e^x\u'e^x=frac{(1+x^2)e^x}{x}\u'=frac{1}{x}+x\frac{du}{dx}=frac{1}{x}+x\du=(frac{1}{x}+x)dx\u=ln(x)+frac{x^2}{2}+C\y=(ln(x)+frac{x^2}{2}+C)e^x$