Question

Помогите 60 баллов Вершины треугольника ABC имеют координаты A(-2,0,1), B(-1,2,3) C( 8,-4,9). Найти периметр и площадь треугольника

Answer 1

Определим координаты сторон треугольника (от координат конца вычитаем координаты начала):

$AB(1; 2; 2); BC (9; -6; 6); AC (10; -4; 8)$

Найдём длину стороны:

$AB = sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = sqrt{1 + 4 + 4} = sqrt{9} = 3$

$BC = sqrt{9^{2} + (-6)^{2} + 6^{2}} = sqrt{81 + 36 + 36} = sqrt{153} = 3sqrt{17}$

$AC = sqrt{10^{2} + (-4)^{2} + 8^{2}} = sqrt{100 + 16 + 64} = sqrt{180} = 6sqrt{5}$

Отсюда периметр равен:

$P = AB + BC + AC = 3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}$

Определим площадь треугольника по формуле Герона:

$p = dfrac{P}{2} = dfrac{3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}}{2}$

$S = sqrt{p(p - AB)(p-BC)(p-AC)} =\\= sqrt{dfrac{3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}}{2} bigg(dfrac{3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}}{2} - 3 bigg)bigg(dfrac{3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}}{2} - 3sqrt{17}bigg)bigg(3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}}{2} - 6sqrt{5} bigg)} = 18$

Ответ: $P = 3 + 3sqrt{17} + 6sqrt{5}; S = 18$

Замечание. Вычисление площади треугольника упущено, ответ точный.