Question

Найдите корни уравнений cos(x/2)+sin(x/2)=1. (-180°;180°)

Answer 1

$xin (-pi;pi)Rightarrow t= frac{x}{2}in (-frac{pi}{2};frac{pi}{2}).$

Если t лежит в 4-й четверти, синус отрицателен, поэтому сумма синуса и косинуса не может равняться 1 (ведь оба они лежат в пределах между минус 1 и 1). Поэтому $tin [0;frac{pi}{2}).$  Если t=0, то cos t=1, sin t=0, то есть t=0 является решением. Если

$t=in (0;frac{pi}{2})Rightarrow left { {{0<cos t<1} atop {0<sin t<1}} right. Rightarrow left { {{cos t>cos^2 t} atop {sin t>sin^2 t}} right.Rightarrow cos t+sin t>cos^2 t+sin^2 t=1,$

то есть на этом промежутке решений нет. Поэтому единственное решение t=0, откуда x=0.

Ответ: 0