Question

Решить уравнение с модулем.

-4*|x^2 - 1| - 3 >= 1/ x^2 - 1.

Answer 1

$-4|x^2-1|-3ge frac{1}{x^2-1}; x^2-1=t; -4|t|-3ge frac{1}{t}.$

1-й случай: t>0. В этом случае решений быть не может, так как левая часть отрицательна, а правая положительна, а отрицательное число не может быть больше положительного.

2-й случай: t<0. В этом случае |t|= - t, и мы получаем неравенство

$4t-3gefrac{1}{t},$ а умножив его на отрицательное t (не забыв при этом поменять неравенство на противоположное), получаем

$4t^2-3tle 1; 4t^2-3t-1le 0; (t-1)(4t+1)le 0.$

Вспоминаем, что t<0, откуда t-1<0, поэтому второй множитель 4t+1 обязан быть неотрицательным:

$4t+1ge 0; 4tge -1; tge -frac{1}{4}Rightarrow t=x^2-1in[-frac{1}{4};0);   x^2in[frac{3}{4};1); |x|in[frac{sqrt{3}}{2};1);$

Ответ: $xin (-1;-frac{sqrt{3}}{2}]cup [frac{sqrt{3}}{2}; 1)$