Question

Обчисліть площу фігури обмеженими лініями у^2=x+5, y^2=-x+4

Answer 1

Ответ:

S = 18√2 ≈ 25,456

Пошаговое объяснение:

Построим параболы заданные уравнениями у² = x + 5, y² = -x + 4

Вершина параболы у² = x + 5 находится в точке (-5;0).

Ветви параболы у² = x + 5 направлены вдоль оси х по направлению возрастания.

Вершина параболы у² = -x + 4 находится в точке (4;0)

Ветви параболы у² = -x + 4 направлены вдоль оси х по направлению убывания.

Найдем точки пересечения двух парабол

Так как                               y² = y²

то                                    x + 5 = -x + 4

                                          2x  = -1

                                            x = -0,5

Находим значение y

                                           y² = x + 5 = -0,5 + 5 = 4,5

                                           y₁ = -√4,5             y₂ = √4,5

Получили две точки пересечения (-0,5;-√4,5) и (-0,5;-√4,5)

Чертеж рисунка во вложении

Интегрировать область пересечения лучше всего по у.

Тогда пределы интегрирования будут от y₁ = -√4,5     до    y₂ = √4,5

Поскольку область интегрирования симметрична относительно оси у то умножим интеграл на 2 а пределы интегрирования изменим от y₁ = 0     до    y₂ = √4,5

Область интегрирования сверху ограничена кривой х = 4 - y², а снизу ограничена кривой х = y² - 5

$S =2intlimits^{sqrt{4,5}} _0 {(4-y^2-(y^2-5))} , dy= 2intlimits^{sqrt{4,5}} _0 {(9-2y^2)} , dy=(18y-frac{4}{3}y^3)begin{vmatrix}sqrt{4,5}\0end{vmatrix}=18sqrt{4,5}-frac{4}{3}cdot 4,5sqrt{4,5}=18sqrt{4,5}-6sqrt{4,5}=12sqrt{4,5}=18sqrt{2}approx 25,456$