Question

Помогите решить , пожалуйста y” – y’ = – 5e^–x (cosx + sinx)

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

1) Вычислим сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$boldsymbol{y''-y'=0}$

Выполнив замену $boldsymbol{y=exp{kx}}$, мы получим характеристическое уравнение:

$boldsymbol{k^2-k=0~~Rightarrow~~~ k(k-1)=0;~~Rightarrow~~ k_1=0;~~ k_2=1}$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$boldsymbol{y^*=C_1+C_2e^x}$

2) Рассмотрим функцию $boldsymbol{f(x)=-5e^{-x}left(cos x+sin xright)}\ boldsymbol{alpha =-1}\ boldsymbol{P_n(x)=-5(cos x+sin x)~~~Rightarrow~~~ beta=1;~~~~ n=1}$

Сравнивая $boldsymbol{alpha,~beta}$  с корнями характеристического уравнения и , принимая во внимания, что $boldsymbol{n=1}$, частное решение будем искать в виде:

$boldsymbol{overline{y}=e^{-x}(Acos x+Bsin x)}$

Найдем первую и вторую производную функции

$boldsymbol{y'=e^{-x}(-Acos x-Asin x+Bcos x-Bsin x)}\ \ boldsymbol{y''=e^{-x}(2Asin x-2Bcos x)}$

Подставляем в исходное уравнение

$boldsymbol{2Asin x-2Bcos x+Acos x+Asin x-Bcos x+Bsin x=}\ \ boldsymbol{=-5cos x-5sin x}\ \ boldsymbol{3Asin x-3Bcos x+Acos x+Bsin x=-5cos x-5sin x}\ \ boldsymbol{cos x(A-3B)+sin x(B+3A)=-5cos x-5sin x}$

Приравниваем коэффициенты при sinx и cosx.

$displaystyle boldsymbol{left { {{A-3B=-5} atop {B+3A=-5}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{A=-2} atop {B=1}} right.}$

Частное решение: $boldsymbol{overline{y}=e^{-x}(sin x-2cos x)}$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

    $boldsymbol{y=y^*+overline{y}=C_1+C_2e^{x}+e^{-x}(sin x-2cos x)}$