Question

Исследовать ряд на сходимость

Answer 1

$a_n=frac{sqrt{n^2+n+1}-sqrt{n^2-n+1}}{n}=frac{(sqrt{n^2+n+1}-sqrt{n^2-n+1})(sqrt{n^2+n+1}+sqrt{n^2-n+1})}{n(sqrt{n^2+n+1}+sqrt{n^2-n+1})}=$

$=frac{n^2+n+1-n^2+n-1}{n(sqrt{n^2+n+1}+sqrt{n^2-n+1})}=frac{2n}{n(sqrt{n^2+n+1}+sqrt{n^2-n+1})}=frac{2}{sqrt{n^2+n+1}+sqrt{n^2-n+1}}=$

$frac{2}{nleft(sqrt{1+frac{1}{n}+frac{1}{n^2}}+sqrt{1-frac{1}{n}+frac{1}{n^2}}right)}sim frac{2}{n(1+1)}=frac{1}{n}$

Как известно, гармонический ряд $sumlimits_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$ расходится, а поскольку члены нашего ряда эквивалентны членам гармонического ряда, то и наш ряд расходится по признаку сравнения (напомню на всякий случай, что такой признак можно применять только для знакопостоянных рядов, попытка заменить члены знакопеременного ряда на эквивалентные члены может привести к неверным выводам).

Ответ: расходится