Question

Помогите пожалуйста решить. 1 и 2 пример решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, а 3 и 4 пример решение неоднородных дифференциальных уравнений методом Бернулли. Помогите пожалуйста, с подробным решение пожалуйста

Answer 1

1. $sqrt{3+y^2} dx - ydy = x^2ydy\sqrt{3+y^2} dx = (x^2y+y)dy\frac{dy}{dx} = frac{sqrt{3+y^2} }{y(x^2+1)}\intlimits {frac{y}{sqrt{3+y^2} } } , dy = intlimits {frac{dx}{x^2+1} } ,\frac{1}{2} intlimits {frac{1}{sqrt{3+y^2} } } , dy^2 = intlimits {frac{1}{x^2+1} } , dx\frac{1}{2} ln|3+y^2| = arctgx + c\ln(3+y^2) = frac{arctgx}{2} +c$

2. $6xdx - 6ydy = 2x^2ydy - 3xy^2dx\(6x+3xy^2)dx = (2x^2y+6y)dy\frac{dy}{dx} = frac{3x(2+y^2)}{2y(x^2+3)} \intlimits {frac{y}{2+y^2} } , dy = frac{3}{2} intlimits {frac{x}{x^2+3} } , dx \intlimits {frac{1}{2+y^2} } , dy^2 = frac{3}{2} intlimits {frac{1}{x^2+3} } , dx^2 \frac{1}{2} ln|2+y^2| = frac{3}{4} ln|x^2+3|+c\ln(2+y^2) = frac{3}{2} ln(x^2+3)+c$

3. $y' - frac{1}{x+1} y = e^x(x+1)\y = uv, y'=u'v+uv'\u'v+uv' - frac{uv}{x+1} = e^x(x+1)\u'v + u[v'-frac{v}{x+1} ] = e^x(x+1)\v'-frac{v}{x+1} = 0 \frac{dv}{dx} = frac{v}{x+1} \intlimits {frac{dv}{v} } , = intlimits {frac{dx}{x+1} } , \ln|v| = ln|x+1|\v=x+1\u'(x+1) = e^x(x+1)\u' = e^x\frac{du}{dx} = e^x\intlimits {} , du = intlimits{e^x} , dx \u = e^x+c\y = uv = e^x(x+1)+c$

4. $y' - frac{y}{x} = xsinx\y = uv, y'=u'v+uv'\u'v+uv' - frac{uv}{x} = xsinx\u'v + u[v'-frac{v}{x} ] = xsinx\v'-frac{v}{x} = 0 \frac{dv}{dx} = frac{v}{x} \intlimits {frac{dv}{v} } , = intlimits {frac{dx}{x} } , \ln|v| = ln|x|\v=x\u'x = xsinx\u' = sinx\frac{du}{dx} = sinx\intlimits {} , du = intlimits{sinx} , dx \u = -cosx+c\y = uv = -xcosx+c$