Question

Решите дифференциальное уравнение: y''+y'=x

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения:

$y''+y'=0$

Пусть $y=e^{kx}$, получим характеристическое уравнение:

$k^2+k=0~~Rightarrow~~ k(k+1)=0~~~Rightarrow~~~ k_1=0;~~~k_2=-1$

$y^*=C_1+C_2e^{-x}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x=xe^{0x}$

Здесь $alpha =0;~~ P_n(x)=x~~~Rightarrow~~~ n=1$

Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимания, что n=1, частное решение будем искать в виде:

$overline{y}=x(Ax+B)=Ax^2+Bx\ y'=2Ax+B\ y''=2A$

Подставим в исходное дифференциальное уравнение:

$2A+2Ax+B=x$

Приравниваем коэффициенты при степенях х:

$displaystyle left { {{2A+B=0} atop {2A=1}} right. ~~~~Rightarrow~~~~left { {{B=-1} atop {A=0.5}} right.$

Частное решение: $overline{y}=dfrac{x^2}{2}-x$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$y=y^*+overline{y}=C_1+C_2e^{-x}+dfrac{x^2}{2}-x$