Question

Сижу уже минут 20 ((( Буду благодарна за помощь

$xcos frac{y}{x} ( - ydx + xdy) = {x}^{2}sin frac{y}{x}dx$
​

Answer 1

$xcos frac{y}{x}(-ydx+xdy)=x^2sinfrac{y}{x}dx~~~|:cos frac{y}{x}dx\ \ x(-y+xy')=x^2{rm tg}, frac{y}{x}\ \ xy'-y=x{rm tg}, frac{y}{x}$

Это линейное однородное дифференциальное уравнение.

Пусть y = ux, тогда y' = u'x + u, получим

$-ux+x(u'x+u)=x{rm tg}, u\ \ u'x^2=x{rm tg} , u\ \ u'x={rm tg}, u~~~Rightarrow~~~ displaystyle intdfrac{dsin u}{sin u}=int dfrac{dx}{x}~~~Rightarrow~~~ ln|sin u|=ln |Cx|\ \ sin u=Cx~~~Rightarrow~~~~ u=arcsin left(Cxright)$

Сделай обратную замену: u = y/x, получим общее решение:

$y=xarcsinleft(Cxright)$

Answer 2

спасибо