Question

Всем привет, помогите решить номер 1 и если не трудно второй, пожалуйста.​

Answer 1

№1 Доказательство с помощью математической индукции:

1) проверим равенство для n=1

$n=1: frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)} =frac{1}{2*3} =frac{1}{6}; \ \ frac{n}{2(n+2)}=frac{1}{2*(1+2)}=frac{1}{6}$

Равенство выполняется!

2) покажем, что формула верна для n+1

Левая часть равенства примет вид:

$frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+1+1)(n+1+2)}=\ \ =frac{1}{2*3}+frac{1}{3*4}+frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}$

Правая часть равенства примет вид:

$frac{n+1}{2(n+1+2)}=frac{n+1}{2(n+3)}$

С другой стороны, если верно:

$frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}=frac{n}{2(n+2)}$

то верно и следующее утверждение:

$frac{1}{2*3} +frac{1}{3*4} +frac{1}{4*5}+...+frac{1}{(n+1)(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n}{2(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}$

(просто прибавляем к обеим частям равенства следующий член)

далее приводим правую часть к виду: (n+1) / 2(n+3)

$frac{n}{2(n+2)}+frac{1}{(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)}{2(n+2)(n+3)}+frac{2}{2(n+2)(n+3)}=frac{n(n+3)+2}{2(n+2)(n+3)}=\ \ =frac{n^2+3n+2}{2(n+2)(n+3)}=frac{(n+1)(n+2)}{2(n+2)(n+3)} =frac{n+1}{2(n+3)}$

Доказано!

№2 неравенство не выполняется для всех n

Например, при n=2, получаем:

2²>3*2-1

4>5 - неверное неравенство!

(скорее всего тут опечатка или нет дополнительного условия)

Answer 2

Огромное спасибо)