Question

Помогите решить дифференциальное уравнение высших порядков, используя метод понижения степени. Зарание спасибо.

x^5*y'''+x^4*y''=1

Answer 1

Понизим порядок степени заменой $y''=z;~~~ y'''=z'$, получим:

$x^5z'+x^4z=1~~|:x^5~~~~~Longleftrightarrow~~~ z'+dfrac{z}{x}=dfrac{1}{x^5}$

Домножим левую и правую части уравнения на множитель:

$mu (x)=e^{intfrac{dx}{x}}=e^{ln x}=x$,  получим

$xz'+z=dfrac{1}{x^4}\ \ (zx)'=dfrac{1}{x^4}\ \ xz=displaystyle int dfrac{dx}{x^4}=-dfrac{1}{3x^3}+C_1\ \ z=-dfrac{1}{3x^4}+dfrac{C_1}{x}$

Возвращаемся к обратной замене:

$y''=-dfrac{1}{3x^4}+dfrac{C_1}{x}\ \ y'=displaystyle intleft(-dfrac{1}{3x^4}+dfrac{C_1}{x}right)dx=dfrac{1}{9x^3}+C_1ln|x|+C_2\ \ y=int left(dfrac{1}{9x^3}+C_1ln|x|+C_2right)dx=-dfrac{1}{18x^2}+C_1xleft(ln |x|-1right)+C_2x+C_3$

P.S. интеграл ln|x| посчитаете сами по частям.