Question

вычислить площадь фигуры ограниченной линиями

Answer 1

Во всех задачах фигура - криволинейная трапеция (или обобщенная).

Поэтому можно использовать определенный интеграл:

а)

$S=intlimits_0^1 e^x,dx=left.e^xright|_0^1=e-1$

б)

Найдем сначала точки пересечения графиков:

$x^2=frac{x^3}{3}Rightarrow x^2left(1-frac{x}{3}right)=0;\x_1=0,,x_2=3.$

Тогда получим

$S=intlimits_0^3 left(x^2-frac{x^3}{3}right),dx=left.left(frac{x^3}{3}-frac{x^4}{12}right)right|_0^3=frac{3^3}{3}-frac{3^4}{12}=9-frac{27}{4}=frac{9}{4}.$

в)

Найдем сначала точки пересечения графиков:

$x^2+1=x+1Rightarrow x^2-x=0;\x_1=0,,x_2=1.$

Тогда получим

$S=intlimits_0^1 left(x+1-x^2-1right),dx=intlimits_0^1 left(x-x^2right),dx=left.left(frac{x^2}{2}-frac{x^3}{3}right)right|_0^1=frac{1}{2}-frac{1}{3}=frac{1}{6}.$