Предмет: Алгебра
Автор: MisterSmith
Вопрос задан 6 лет назад

Найдите все значения параметра а, при которых система
$left { {{(3-2sqrt{2})^y+(3+2sqrt{2})^y-3a=x^2+6x+5, } atop {y^2-(a^2-5a+6)x^2=0,}}atop {-6leq xleq 0 }} right.$
имеет единственное решение.

Ответы

Ответ дал: DNHelper

Заметим, что если пара (x₀, y₀) – решение системы, то и пара (x₀, -y₀) также является решением системы. Доказывается это подстановкой -y вместо y в уравнения:

В первом уравнении рассмотрим только первые две скобки:

$(3-2sqrt{2})^{-y}+(3+2sqrt{2})^{-y}=frac{1}{(3-2sqrt{2})^{y}}+frac{1}{(3+2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3-2sqrt{2})^{y}(3+2sqrt{2})^{y}}+\+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3+2sqrt{2})^{y}(3-2sqrt{2})^{y}}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{(3^2-(2sqrt{2})^2)^y}=frac{(3+2sqrt{2})^{y}}{1^y}+frac{(3-2sqrt{2})^{y}}{1^y}=\=(3+2sqrt{2})^y+(3-2sqrt{2})^y$

После замены y на -y сумма не изменилась, значит, уравнение осталось тоже неизменным.

Во втором уравнении при подстановке -y минус «съедается» квадратом, поэтому уравнение также остаётся неизменным.

Исходя из этого единственным решение бывает тогда, когда y = -y, то есть y = 0. Получаем такую систему:

$begin{equation*}begin{cases}2-3a=x^2+6x+5,\(a^2-5a+6)x^2=0,\-6leq xleq 0end{cases}end{equation*}$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+6x+5$ на промежутке -6 ≤ x ≤ 0. Вершина этой параболы находится в точке с абсциссой -3, ось симметрии ровно посередине заданного промежутка. Значит, при x = -3 парабола принимает ровно одно значение, а при всех остальных заданных x – ровно два. Отсюда единственность решения достигается:

1) x = -3 (единственное решение первого уравнения), причём $a^2-5a+6=0$ , иначе не будет решений второго уравнения;

2) x = 0 (единственное решение второго уравнения).

Случай, когда первое уравнение имеет два решения, а второе – только одно из них, не достигается.

Случай 1 (x = -3):

$2-3a=(-3)^2+6*(-3)+5 Leftrightarrow 2-3a=-4 Leftrightarrow a=2$

При таком a $2^2-5*2+6=0$ - верно, значение подходит.

Случай 2: (x = 0):

$2-3a=0^2+6*0+5 Leftrightarrow 2-3a=5 Leftrightarrow a=-1$ .

Проверка значений параметра на посторонние решения:

При a = 2 из второго уравнения следует, что y = 0, тогда из первого следует, что $x^2+6x+5=-4$ , это уравнение также имеет единственное решение.

При a = -1 первое уравнение имеет вид $(3-2sqrt{2})^y+(3+2sqrt{2})^y=x^2+6x+2$ . Рассмотрим функции $f(x)=(3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x$ и $g(x)=x^2+6x+2, -6leq xleq 0$ .

$f'(x)=((3-2sqrt{2})^x+(3+2sqrt{2})^x)'=((3-2sqrt{2})^x)'+((3+2sqrt{2})^x)'=\=(3-2sqrt{2})^xln{(3-2sqrt{2})}+(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=(3+2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}-(3-2sqrt{2})^xln{(3+2sqrt{2})}=\=ln{(3+2sqrt{2})}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x)$

Нули производной:

$ln{(3+2sqrt{2})}((3+2sqrt{2})^x-(3-2sqrt{2})^x)=0\(3+2sqrt{2})^x=(3-2sqrt{2})^x\x=0$

Функция убывает при x ≤ 0 и возрастает при x ≥ 0. Значит, x = 0 – точка глобального минимума. Минимальное значение функции f(0) = 2. Значит, E(f) = [2; +∞).

g(x) – парабола. При заданных ограничениях E(g) = [-4; 2]. Значит, решение первого уравнения существует, если:

$left { {{f(y)=2} atop {g(x)=2}} right. left { {{y=0} atop {x=-6; 0}} right.$

Вид второго уравнения при a = -1: $y^2=12x^2$ . Пара решений (-6; 0) не является его решением. Пара (0; 0) является его решением. Значит, система имеет единственное решение.