Question

Найдите различные цифры a и b такие, что 0,aaa…=(0,bbb…)^2

Answer 1

У обеих бесконечных дробей есть период, значит, их можно представить в виде обыкновенных дробей. Решим эту подзадачу в общем виде:

-$10t=x,xxx...\t=0,xxx...$

$9t=xLeftrightarrow t=frac{x}{9}$

Тогда:

$frac{a}{9}=(frac{b}{9})^2Leftrightarrow frac{a}{9}=frac{b^2}{81}Leftrightarrow 9a=b^2$

9a – квадрат натурального числа, 9 – квадрат тройки, значит, a – однозначное число, являющееся также квадратом какого-то числа, то есть либо 1, либо 4, либо 9.

При a = 1: $9*1=b^2 Rightarrow b = 3$

При a = 4: $9*4=b^2Rightarrow b = 6$

При a = 9: $9*9=b^2Rightarrow b=9$, но тогда a = b, что не подходит по условию.

Ответ: (a; b) = (1; 3), (4; 6)

Answer 2

Всё решено верно: (0,333...)^1=0,111... или (1/3)^2=1/9 и (0,666...)^2=0,444... или (2/3)^2=4/9. Других решений нет.