Question

Найти первые пять членов разложения дифференциального уравнения в степенной ряд

y’’+(y’)^2=2, y(1)=1, y’(1)=1

Answer 1

Конечно, в степенной ряд ( то есть в ряд Тейлора) раскладывается не само дифференциальное уравнение, а его решение.

В общем виде ряд Тейлора функции y(x) в точке a имеет вид

$y(x)=y(a)+y'(a)(x-a)+frac{y''(a)}{2!}(x-a)^2+ldots +frac{y^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ldots$

В нашем случае, естественно, a=1. По условию y(a)=y(1)=1; y'(1)=1.

Дифференциальное уравнение запишем в виде

$y''=-(y')^2+2Rightarrow y''(1)=-(1)^2+2=1.$

Продифференцировав дифференциальное уравнение, получаем

$y'''=-2y'y''Rightarrow y'''(1)=-2cdot 1cdot 1=-2.$

Еще раз продифференцируем дифференциальное уравнение:

$y^{(4)}=-2(y'')^2-2y'y'''Rightarrow y^{(4)}(1)=-2cdot 1^2-2cdot 1cdot (-2)=2Rightarrow$

$y(x)=1+(x-1)+frac{1}{2}(x-1)^2-frac{1}{3}(x-1)^3+frac{1}{12}(x-1)^4+ldots$

Answer 2

Если функция у(х) имеет все производные до (n+1) -го порядка включительно, то в окрестности точки х=а ( т.е. на некотором интервале. содержащем точку х=а) справедлива формула Тейлора.

Пусть искомая функция у(х) разложена в ряд Тейлора

у(х)=у(а)+(х-а)у'(а)/1!+(х-а)²y"(а)/2!+...+(x-a)⁽ⁿ⁾у⁽ⁿ⁾(a)/n!+Rₙ(x).

Два первых коэффициента даны в условии задачи, третий получим при подстановке  неизвестных величин в данное уравнение, а следующие два найдем путем последовательного дифференцирования данного уравнения.

y"=-(у')²+2; y"(1)=-1+2=1; у'''=-2y'* y''   у'''(1)=-2y'(1)*y"(1)=-2

у⁽⁴⁾=-2y''*y''-2y'*y''';  у⁽⁴⁾(1)=-2(y''(1))²-2y'(1)y'''(1)=-2*1²-2*1*(-2)=-2+4=2

у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-(2*(х-1)³/(2*3))+((х-1)⁴*2)/(2*3*4))+...

или окончательно после упрощения

у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...

Ответ первые пять членов разложения в ряде Тейлора

у(х)=1+(х-1)+((х-1)²/2)-((х-1)³/3)+((х-1)⁴*/12+...