Question

Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

Answer 1

$int frac{tgx, dx}{1-ctg^2x}=[; t=tgx; ,; x=arctgt; ,; dx=frac{dt}{1+t^2}; ]=int frac{t, dt}{(1-frac{1}{t^2})(1+t^2)}=\\=int frac{t^3, dt}{(t^2-1)(1+t^2)}=Q\\frac{t^3}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=frac{A}{t-1}+frac{B}{t+1}+frac{Ct+D}{t^2+1}\\t^3=A(t+1)(t^2+1)+B(t-1)(t^2+1)+(Ct+D)(t-1)(t+1)\\t=1:; ; A=frac{t^3}{(t+1)(t^2+1)}=frac{1}{2cdot 2}=frac{1}{4}\\t=-1:; ; B=frac{t^3}{(t-1)(t^2+1)}=-frac{1}{4}\\\t^3; |; A+B+C=1; ,; ; C=1-A-B=1-frac{1}{4}+frac{1}{4}=1$

$t^2; |; A-B+D=0; ,; ; D=-A+B=-frac{1}{4}-frac{1}{4}=-frac{1}{2}\\\Q=frac{1}{4}int frac{dt}{t-1}-frac{1}{4}int frac{dt}{t+1}+int frac{t-frac{1}{2}}{t^2+1}, dt=frac{1}{4}cdot ln|t-1|-frac{1}{4}cdot ln|t+1|+\\+frac{1}{2}int frac{2t, dt}{t^2+1}-frac{1}{2}int frac{dt}{t^2+1}=frac{1}{4}cdot lnBig |frac{t-1}{t+1}Big |+frac{1}{2}cdot ln|t^2+1|-frac{1}{2}cdot arctgt+C=\\=frac{1}{4}cdot lnBig |frac{tgx-1}{tgx+1}Big |+frac{1}{2}cdot Big (ln|tg^2x+1|-artg, (tgx)Big)+C=$

$=frac{1}{4}cdot lnBig |frac{tgx-1}{tgx+1}Big |+frac{1}{2}cdot Big (ln(tg^2x+1)-xBig)+C=$

$=frac{1}{4}cdot lnBig |frac{tgx-1}{tgx+1}Big |+lnsqrt{tg^2x+1}-frac{1}{2}x+C$

Answer 2

Прости, что не скинул ответ, но твой не сходится: 1/4(ln(tg^4(x)-1))

Answer 3

мой ответ верен, просто его можно дальше преобразовать до нужного вида