Question

30 баллов.
В каких пределах находится отношение суммы катетов к гипотенузе в прямоугольном треугольнике?
Желательно с объяснением!!!! ​

Answer 1

Ответ:

(1; √2]

Пошаговое объяснение:

Пусть a, b - катеты прямоугольного треугольника, а с - его гипотенуза.

Отношение суммы катетов к гипотенузе имеет вид:

(a + b)/c = a/c + b/c = sinα + cosα, где α - угол в исходном треугольнике (всегда острый, I четверть).

Функция у = sinα + cosα на отрезке [0; π/2] имеет максимум в точке π/4 со значением √2. Это верхний предел искомого отношения.

Нижний предел равен 1 (в точках 0 и π/2).

Таким образом, искомое соотношение лежит в пределах от 1 до √2, не достигая нижней границы интервала.

Answer 2

корень из 2 достигается

Answer 3

Ваша правда, спасибо.

Answer 4

Подправьте, пожалуйста, скобку.

Answer 5

Так подправил же)

Answer 6

Ответ:

$(1;sqrt{2}]$

Пошаговое объяснение:

$frac{a+b}{c}=frac{a}{c}+frac{b}{c}=sinalpha+cosalpha=sqrt{2}(sinalphacdotcosfrac{pi}{4}+cos alpha cdot sinfrac{pi}{4})=sqrt{2}sin(alpha+frac{pi}{4}).$

Здесь $alpha -$ острый угол прямоугольного треугольника, то есть

$alphain (0;frac{pi}{2})Rightarrow t= alpha+frac{pi}{4}in(frac{pi}{4};frac{3pi}{4}).$

Функция $y=sin t$ возрастает на $(frac{pi}{4};frac{pi}{2}]$ и убывает на $[frac{pi}{2};frac{3pi}{4}),$ при этом $y(frac{pi}{4})=y(frac{3pi}{4})=frac{sqrt{2}}{2}; y(frac{pi}{2})=1,$ поэтому множеством значений этой функции на указанном промежутке является множество $(frac{sqrt{2}}{2};1],$ откуда множеством значений функции $y=sqrt{2}sin t$ на указанном промежутке является множество $(1;sqrt{2}].$