Question

Помогите решить пожалуйста два уравнения:

а) 4xy*dy=(x^2+1)*dy

б) x^2*dy=(xy-y^2)*dx

Answer 1

$a_1); ; 4xycdot dy=(x^2+1)cdot dx\\int 4ycdot dy=int frac{(x^2+1)cdot dx}{x}; ; ,; ; 4int ycdot dy=int (x+frac{1}{x})cdot dx; ,\\4cdot frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+ln|x|+C\\2y^2=frac{x^2}{2}+ln|x|+C\\\a_2); ; 4xycdot dx=(x^2+1)cdot dy\\int frac{4xcdot dx}{x^2+1}=int frac{dy}{y}; ; ,; ; 2cdot int frac{2xcdot dx}{x^2+1}=int frac{dy}{y}; ,; ; Big [; (x^2+1)'=2x; Big ]\\2cdot ln|x^2+1|=ln|y|+ln|C|\\(x^2+1)^2=Cy; ; to ; ; y=frac{1}{C}cdot (x^2+1)^2; ,\\y=C_1cdot (x^2+1)^2; ,; C_1=frac{1}{C}$

$b); ; x^2cdot dy=(xy-y^2)cdot dx\\frac{dy}{dx}=frac{xy-y^2}{x^2}; ; ,; ; y'=frac{y}{x}-(frac{y}{x})^2; ; ,\\u=frac{y}{x}; ,; ; y=ux; ,; ; y'=u'x+u\\u'x+u=u-u^2; ; ,; ; u'x=-u^2\\frac{du}{dx}cdot x=-u^2; ; ,; ; int frac{du}{u^2}=-int frac{dx}{x}; ; ,\\frac{u^{-1}}{-1}=-ln|x|-C\\frac{1}{u}=ln|x|+C\\frac{x}{y}=ln|x|+C\\y=frac{x}{ln|x|+C}$