Question

знайти загальний розв'язок диференціального рівняння x^2*y''+6y'+6y=0 якщо відомий його частинний розв язок y=x^-2

Answer 1

Застосуємо формулу Ліувілля-Остроградського.

$displaystyle int^x_{x_0}dfrac{6}{t^2}dt=-dfrac{6}{t}bigg|^x_{x_0}=-frac{6}{x}+frac{6}{x_0}$

$left|begin{array}{ccc}y_1& y_2\ y_1'& y_2'end{array}right|=W_0(x)e^big{-frac{6}{x}+frac{6}{x_0}}=dfrac{W_0(x)}{e^big{-frac{6}{x_0}}}cdot e^big{-frac{6}{x}}=C_1e^big{-frac{6}{x}}$

де $C_1$ — постійна константа.

За означення визначника, отримаємо

$y'_2y_1-y_2y_1'=C_1e^big{-frac{6}{x}}~~~~Rightarrow~~~~dfrac{y_2'y_1-y_2y_1'}{y_1^2}=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{y_1^2}\ \ bigg(dfrac{y_2}{y_1}bigg)'=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{y_1^2}=dfrac{C_1e^big{-frac{6}{x}}}{(x^{-2})^2}=C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}\ \ displaystyle frac{y_2}{y_1}=int C_1x^4e^big{-frac{6}{x}}dx~~~~Rightarrow~~~boxed{y_2=x^{-2}C_1int x^4e^big{-frac{6}{x}}dx}$