Question

Пожалуйста, помогите с решением дифференциального уравнения и задачи Коши.

Answer 1

Найдем сначала общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:

$x''+2x'+5x=0$

Используя замену $x'=e^{kt}$, получим характеристическое уравнение

$k^2+2k+5=0$

$k=-1pm 2i$

Общее решение однородного дифференциального уравнения:

$x^*=C_1e^{-t}cos 2t+C_2e^{-t}sin 2t$

Рассмотрим функцию: $f(t)=-8e^{-1}sin 2t$. Здесь $P_n(t)=-8e^{-1}$ откуда $n=0;$ и $alpha=0;~beta=2;~~~Q_n(t)=0$. Сравнивая α, β с корнями характеристического уравнения, частное решение будем искать в виде:

$x^{**}=Asin 2t+Bcos 2t\ x'=(Asin2t+Bcos 2t)'=2Acos 2t-2Bsin 2t\ x''=(2Acos 2t-2Bsin 2t)'=-4Asin2t-4Bcos 2t$

Подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

$-4Asin2t-4Bcos 2t+4Acos2t-4Bsin2t+5Asin2t+5Bcos2t=-8e^{-1}sin2t$

$Asin2t+Bcos2t+4Acos2t-4Bsin2t=-8e^{-1}sin2t\ \ sin2t(A-4B)+cos 2t(B+4A)=-8e^{-1}sin 2t$

Приравниваем коэффициенты при cos2x и sin2x, получаем систему:

$displaystyle left { {{A-4B=-8e^{-1}} atop {B+4A=0}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{A+16A=-8e^{-1}} atop {B=-4A}} right.~~~Rightarrow~~~left { {{A=-frac{8}{17}e^{-1}} atop {B=frac{32}{17}e^{-1}}} right.$

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения:

$x=x^*+x^{**}=C_1e^{-t}cos 2t+C_2e^{-t}sin 2t-frac{8}{17}e^{-1}sin 2t+frac{32}{17}e^{-1}cos 2t$

Осталось решить задачу Коши, подставляя начальные условия

$x'=(C_1e^{-t}cos 2t+C_2e^{-t}sin 2t-frac{8}{17}e^{-1}sin 2t+frac{32}{17}e^{-1}cos 2t)'=\ =-C_1e^{-t}cos2t-2C_1e^{-t}sin2t-C_2e^{-t}sin2t+2C_2e^{-t}cos 2t-\ -frac{16}{17}e^{-1}cos2t-frac{64}{17}e^{-1}sin2t\ \ x'(0)=2;~~~2=-C_1+2C_2-frac{16}{17}e^{-1}\ x(0)=6;~~~~6=C_1+frac{32}{17}e^{-1}$

$displaystyle left { {{2=-C_1+2C_2-frac{16}{17}e^{-1}} atop {6=C_1+frac{32}{17}e^{-1}}} right.~~~~Rightarrow~~~~left { {{C_2=4+frac{8}{17}e^{-1}} atop {C_1=6-frac{32}{17}e^{-1}}} right.$

Частное решение задачки Коши:

$x=(6-frac{32}{17}e^{-1})e^{-t}cos 2t+(4+frac{8}{17}e^{-1})e^{-t}sin 2t-frac{8}{17}e^{-1}sin 2t+frac{32}{17}e^{-1}cos 2t$