Question

Из города на запад отправился велосипедист со скоростью 20 км/ч, а через 3 ч в том же самом направлении выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Через какое время после выезда велосипедиста и на каком расстоянии от Харькова автомобилист догонит велосипедиста?

Answer 1

Дано:

$v_{1} = 20$ км/ч

$v_{2} = 80$ км/ч

$tau = 3$ ч

Найти: $t - ? x - ?$

Решение. В системе отсчета "земля" начало координат свяжем с городом, откуда отправились оба тела, а начало отсчета времени — с началом  движения велосипедиста.

Согласно условию автомобиль двигался на время $tau$ меньше,  чем велосипедист. Таким образом, уравнение их движения будут иметь вид:

$left { {bigg{x_{1} = v_{1}t } atop bigg{x_{2} = v_{2}(t - tau)}} right.$

В тот момент, когда автомобилист догонит велосипедиста, они  будут находиться в одной точке ($x_{1} = x_{2}$).

Имеем систему уравнений, левые части которых равны, а следовательно, и правые части равны, т. е.

$v_{1}t = v_{2}(t - tau)$

Отсюда выразим время $t$:

$t = dfrac{v_{2}tau}{v_{2} - x_{1}}$

Определим значение искомой величины:

$t = dfrac{80 cdot 3}{80 - 20} = 4$ ч

Определим расстояние $x$ встречи автомобилиста и велосипедиста (момент, когда автомобилист начнет перегонять велосипедиста).

1 способ (аналитический).

Расстояние, на котором автомобилист догонит велосипедиста, равняется их общей координате. Найдем ее как координату велосипедиста:

$x = x_{1} = v_{1}t = 20 cdot 4 = 80$ км

2 способ (графический).

Запишем уравнения движения ($x = x_{0} + v_{x}t$) велосипедиста и автомобиля:

$x_{1} = 20t\x_{2} = 80(t-3)$

Построим их графики (смотрите вложение). Точка пересечения графиков будет  определять координату места, где автомобиль догонит велосипедиста, и время, когда это произойдет.

Ответ: автомобиль догонит велосипедиста через 4 ч после  выезда велосипедиста на расстоянии 80 км от города.