Question

Помогите пожалуйста, не могу сообразить​

Answer 1

2cos2x-sin2x=1

а)1=sin²x+cos²x; 1+sin2x=1+2sinxcosx=sin²x+cos²x+2sinxcosx=(sinx+cosx)²

б) cos2x=cos²x-sin²x;  Перенесем вправо sin2x и используем а), б).

2cos2x=sin2x+1; 2*(cos²x-sin²x)=(sinx+cosx)²;

Соберем все с одной стороны и вынесем скобку за скобку

2*(cos²x-sin²x)-(sinx+cosx)²=0

2*(cosx-sinx)*(cosx+sinx) - (cosx+sinx)²=0;

(cosx+sinx)(2*(cosx-sinx)- (cosx+sinx))=0;(cosx+sinx)(2cosx-2sinx-cosx-sinx)=0;

(cosx+sinx)(cosx-3sinx)=0;     cosx+sinx=0; tgx=-1; х=-π/4+πn; n∈Z

cosx-3sinx=0⇒Делим на cosx≠0, т.к. иначе и синус бы был равен нулю. что противоречило бы основному тригонометрическому тождеству.

1-3tgx=0;  tgx=1/3, х= arctg(1/3)+πm; m∈Z

Ответы выделены.

Answer 2

Приведём другое решение:

2cos2x - sin2x = 1  ;  Пусть cos2x = a, sin2x = b, тогда

$left{{{2a-b=1}atop{a^{2}+b^{2}=1}}right.$

Выражаем из первого уравнения b и подставляем во второе, решив квадратное уравнение относительно a:

a² + (2a - 1)² = 1  ⇔ 5a² - 4a = 0 ⇔ a•(5a - 4) = 0

     1) Если а = 0, то b = 2a - 1 = - 1  ⇒  (0;-1) - данная точка находится на оси синусов, поэтому b = - 1 ⇔ sin2x = - 1 ⇔ 2x = - (п/2) + 2πn ⇔ x = - (п/4) + πn, n ∈ Z

     2) Если а = 4/5, то b = 3/5  ⇒  (4/5;3/5) - точка находится в 1 четверти, поэтому a = 4/5 или b = 3/5. Возьмём b = 3/5 ⇔ sin2x = 3/5 ⇔ 2x = arcsin(3/5) + 2πk ⇔ x = (1/2)•arcsin(3/5) + πk, k ∈ Z. Вторую серию корней не учитываем, так как присутствует только одна точка (4/5;3/5). Конечно, можно преобразовать sin2x = 3/5 до ctgx = 3 ⇔ x = arcctg3 + πm, m∈Z, но это дело вкуса.

ОТВЕТ: - (π/4) + πn, n ∈ Z ; (1/2)•arcsin(3/5) + πk, k ∈ Z