Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями параболой y=x^2+1 и прямой y=3-x

Answer 1

y=x²+1, это парабола ветви которой направлены вверх, а координаты вершины (0;1).

y=3-x, это прямая составляющая угол с ось абсцисс в 135° и поднята на 3 вверх.

Опустим каждый из эти графиков на 1, чтобы упростить себе задачу.

Получается y=x² и y=2-x, найдём абсциссы пересечений, чтобы определить промежуток интегрирования.

$x^2=2-x;quad x^2+x-2=0;D=1+8=3^2\x=frac{-1pm 3}{2}={-2;1}$

Тогда площадь фигуры ограниченной этими линиями будет:

$S=intlimits^1_{-2} {(2-x)} , dx -intlimits^1_{-2} {x^2} , dx =intlimits^1_{-2} {(2-x-x^2)} , dx =\(2x-frac{x^2}{2}-frac{x^3}{3})begin{vmatrix}\end{matrix}^{1}_{-2}=(2cdot 1-frac{1^2}{2}-frac{1^3}{3})-(2cdot (-2)-frac{(-2)^2}{2}-frac{(-2)^3}{3})=\\(frac{12-3-2}{6})-(frac{-24-12+16}{6})=frac{7+20}{6}=frac{9}{2}=4,5.\\Otvet :4,5.$