Question

найти общее решение диф. уравнения понизив его порядок:
y"-y'-x=0

Answer 1

Пусть $y'=u;~~ y''=u'$, получим:

$t'-t=x$

Умножим левую и правую части уравнения на множитель $mu(x)$:

$mu (x)=e^{-int dx}=e^{-x}$, получаем

$t'cdot e^{-x}-te^{-x}=xe^{-x}\ \ (tcdot e^{-x})'=xe^{-x}$

Интегрируя обе части уравнения, получим

$te^{-x}=displaystyle int xe^{-x}dx=left{begin{array}{ccc}u=x;~~ du=dx\ dv=e^{-x}dx;~~ v=-e^{-x}end{array}right}=-xe^{-x}+int e^{-x}dx=\ \ =-xe^{-x}-e^{-x}+C_1\ \ t=(-xe^{-x}-e^{-x}+C_1)cdot e^x=C_1e^{x}-x-1$

Выполним обратную замену:

$y'=C_1e^x-x-1\ \ displaystyle y=int (C_1e^x-x-1)dx=C_1e^x-dfrac{x^2}{2}-x+C_2$

Ответ: $y=C_1e^x-dfrac{x^2}{2}-x+C_2$